Статистические методы. Правила определения и методы расчета статистических характеристик по выборочным данным. Часть 1. Нормальное распределение

ГОСТ Р 50779.21-2004

Группа Т59

НАЦИОНАЛЬНЫЙ СТАНДАРТ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Статистические методы

ПРАВИЛА ОПРЕДЕЛЕНИЯ И МЕТОДЫ РАСЧЕТА

СТАТИСТИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК ПО ВЫБОРОЧНЫМ ДАННЫМ

Часть 1
Нормальное распределение
Statistical methods. Determination rules and methods
for calculation of statistical characteristics based on sample data.
Part 1. Normal distribution
ОКС 03.120.30
Дата введения 2004-06-01
Предисловие
1 РАЗРАБОТАН Техническим комитетом по стандартизации ТК 125 "Статистические методы в управлении качеством продукции"
2 ВНЕСЕН Научно-техническим управлением Госстандарта России
3 УТВЕРЖДЕН И ВВЕДЕН В ДЕЙСТВИЕ Постановлением Госстандарта России от 12 января 2004 г. N 3-ст
4 Настоящий стандарт разработан с учетом основных нормативных положений международного стандарта ИСО 2854:1976 "Статистическое представление данных. Методы оценки и проверки гипотез о средних значениях и дисперсиях" (ISO 2854:76 "Statistical interpretation of data - Techniques of estimation and tests relating to means and variance", NEQ)

5 ВЗАМЕН ГОСТ Р 50779.21-96

Информация об изменениях к настоящему стандарту публикуется в указателе "Национальные стандарты", а текст этих изменений - в информационных указателях "Национальные стандарты". В случае пересмотра или отмены настоящего стандарта соответствующая информация будет опубликована в информационном указателе "Национальные стандарты"
Введение
Стандарт устанавливает процедуры и методы решения ряда практических задач статистики в случае, когда наблюдаемые величины являются случайными и распределены по нормальному закону.
В стандарте изложены методы решения следующих задач:
а) точечного оценивания параметров нормального распределения случайной величины;
б) точечного оценивания вероятности попадания (доли распределения) случайной величины в заданный интервал и вне его;
в) интервального (доверительного) оценивания параметров нормального распределения и доли распределения;
г) проверки гипотез об этих же величинах.
Все процедуры, приведенные в стандарте, используют ограниченный ряд статистически независимых наблюдений, полученных в производстве, в лабораторных условиях, при контроле, измерении, оценке и т.п.
1 Область применения
Настоящий стандарт устанавливает методы, применяемые для:
- оценки математического ожидания и дисперсии генеральной совокупности;
- проверки гипотез относительно значений этих параметров;
- оценки вероятности попадания (доли распределения) случайной величины в заданный интервал.
Примечание - Вероятность попадания случайной величины в интервал равна доле распределения случайной величины в этом интервале. В большинстве практических задач физический смысл имеет понятие "доля распределения случайной величины в интервале", которое далее применено в настоящем стандарте.
Методы, изложенные в настоящем стандарте, применимы в том случае, если выполнены следующие условия:
- элементы выборки получены путем независимых повторений эксперимента. В случае конечной генеральной совокупности объем выборки должен составлять не более 10% объема генеральной совокупности;
- наблюдаемые переменные распределены по нормальному закону. Однако если распределение вероятностей несильно отличается от нормального, то описанные в стандарте методы остаются применимыми для большинства практических приложений. В этом случае объем выборки должен быть не менее 10 единиц, причем достоверность получаемых статистических выводов возрастает при увеличении объемов выборок.
2 Нормативные ссылки
В настоящем стандарте использованы ссылки на следующие стандарты:
ГОСТ Р 50779.10-2000 (ИСО 3534-1-93) Статистические методы. Вероятность и основы статистики. Термины и определения
ГОСТ Р 50779.11-2000 (ИСО 3534-2-93) Статистические методы. Статистическое управление качеством. Термины и определения
Примечание - При пользовании настоящим стандартом целесообразно проверить действие ссылочных стандартов по указателю "Национальные стандарты", составленному по состоянию на 1 января текущего года, и по соответствующим информационным указателям, опубликованным в текущем году. Если ссылочный документ заменен (изменен), то при пользовании настоящим стандартом следует руководствоваться замененным (измененным) стандартом. Если ссылочный документ отменен без замены, то положение, в котором дана ссылка на него, применяется в части, не затрагивающей эту ссылку.
3 Термины и определения
В настоящем стандарте применены термины по ГОСТ Р 50779.10 и ГОСТ Р 50779.11, а также следующие термины с соответствующими определениями:
3.1 точечное оценивание параметра: Получение оценки параметра в виде одного численного значения;
3.2 интервальное (доверительное) оценивание параметра: Получение оценки параметра в виде доверительного интервала;
- доверительная вероятность).
Примечание - Доверительный интервал может быть двусторонним или односторонним;
3.4 нулевая гипотеза: Предположение о распределении генеральной совокупности, которое проверяют по статистическим данным.
Примечание - В частности, в настоящем стандарте рассмотрены предположения о значениях параметров распределения.
4 Обозначения
В настоящем стандарте применены следующие обозначения:
-
математическое ожидание нормального закона распределения (среднее значение генеральной совокупности, далее - среднее значение);
-
;
-
математические ожидания для двух различных генеральных совокупностей;
-
;
-
;
-
;
-
стандартное (среднеквадратичное) отклонение нормально распределенной случайной величины;
-
;
-
;
-
;
-
для двух генеральных совокупностей;
-
;
-
;
-
точечная оценка дисперсии;
-
выборочное значение наблюдаемой случайной величины;
-
выборочное значение случайной величины из первой генеральной совокупности;
-
то же, из второй генеральной совокупности;
-
объемы выборок;
-
среднеарифметические значения (выборочные средние);
-

выборочное стандартное (среднеквадратичное) отклонение;
-
то же для двух выборок соответственно;
-
риск первого рода (вероятность отвергнуть гипотезу, когда она верна);
-
;
-
число степеней свободы;
-
соответственно;
-
соответственно;
-
;
-
соответственно;
-
нижняя и верхняя границы интервала соответственно;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
случайное событие: например, попадание случайной величины в заданный интервал;
-
;
- сумма выборочных значений.

5 Общие требования
5.1 Настоящий стандарт содержит описание типовых статистических задач, а также процедур, при помощи которых они решаются. Представленные задачи могут быть разбиты на три класса:
- точечное и интервальное оценивание среднего значения генеральной совокупности;
- точечное и интервальное оценивание дисперсии генеральной совокупности;
- точечное и интервальное оценивание доли распределения (вероятность попадания) случайной величины в заданном интервале и вне его.
5.2 Для решения каждой из перечисленных задач по 5.1 приведены процедуры их решения (разделы 6, 7, 8), включающие в себя:
1) статистические и исходные данные;
2) определение стандартных табличных данных, которые необходимы для проведения вычислений (приложения А, Б, В, Г), а также проведение вычислений параметров коэффициентов по приведенным формулам;
3) результаты, полученные в итоге проведенных вычислений.
5.3 Для задач каждого класса приведены примеры их применения на практике (в производстве, медицине, химии). Спектр возможных применений этих задач не ограничивается приведенными в разделах 6, 7, 8 примерами.
5.4 Во всех приведенных задачах предполагается, что статистические и исходные данные подчиняются нормальному закону распределения. В тех случаях, когда изначально в этом нет достаточной уверенности, должны быть проведены предварительные исследования соответствия исходных данных нормальному закону.
5.5 Процедуры решения перечисленных в 5.1 задач представлены в таблицах, соответствующих этим задачам (разделы 6, 7, 8).
Номера таблиц разделов 6, 7, 8 для решения соответствующих задач перечислены в обобщенных таблицах 5.1, 5.2, 5.3, 5.4.
Таблица 5.1 - Номера таблиц для решения задач по оценке среднего значения (раздел 6)
Задача оценки среднего значения
Номер таблицы

известна
неизвестна

Оценка среднего
6.1
6.2

Сравнение среднего значения с заданным значением
6.3
6.4

Сравнение двух средних
6.5
6.6

Оценка разности двух средних
6.7
6.8

Таблица 5.2 - Номера таблиц для решения задач по оценке дисперсии (раздел 7)
Задача оценки дисперсии
Номер таблицы

Оценка дисперсии
7.1

Сравнение дисперсии или стандартного отклонения с заданным значением
7.2

Сравнение двух дисперсий или двух стандартных отклонений
7.3

Таблица 5.3 - Номера таблиц для решения задач по точечной оценке доли распределения случайной величины в заданном интервале (раздел 8)
Номер таблицы
известна
неизвестна

8.2
8.3

Таблица 5.4 - Номера таблиц для решения задач по интервальной оценке доли распределения случайной величины при неизвестной дисперсии в заданном интервале (раздел 8)
Заданные границы интервала
Искомая величина
Номер таблицы
8.4
8.5
8.6
8.7
8.8
8.9

5.6 Процедуры интервального оценивания доли распределения случайной величины в заданном интервале, изложенные в разделе 8 настоящего стандарта, являются простыми для применения, но не самыми эффективными. Более эффективными являются процедуры с использованием таблиц нецентрального распределения Стьюдента или таблиц толерантных множителей, которые в настоящем стандарте не приведены.
6 Точечное и интервальное оценивание математического ожидания генеральной совокупности
6.1 Алгоритм точечного и интервального оценивания среднего значения при известной дисперсии приведен в таблице 6.1.
Таблица 6.1 - Оценка среднего значения при известной дисперсии
Статистические и исходные данные
Табличные данные и вычисления

1 Объем выборки:
:

2 Сумма значений наблюдаемых величин:
:

3 Известное значение дисперсии:
3 Вычисляем:

4 Выбранная доверительная вероятность:
4 Вычисляем:

5 Вычисляем:

Результаты
:
:
.
:
или
.

Примечание - Квантили стандартного нормального закона распределения определяют по таблице А.1 приложения А.

Примеры
. Интервал может быть:
;
не выше